鍵を紛失したら警察に届け出は必要ですか？

基本的に届け出を推奨しています。

ただし、電車や駅で紛失した場合、各鉄道会社の担当窓口があり、そちらで保管している可能性があります。また、ジムなどの公共施設の場合、鍵だけ紛失した場合は警察ではなく運営会社が保管している場合があります。
電車や駅→まずは鉄道会社に問い合わせる
ジムなどの公共施設で鍵だけを紛失→施設に連絡
それ以外(屋外や財布も一緒に失くした)→すぐに警察
といった方法が賢明です。